Lemme des noyaux - Théorème de décomposition des noyaux
Théorème
Lemme des noyaux, théorème de décomposition des noyaux :
Soient \(E\) un sous-espace vectoriel sur un corps commutatif \({\Bbb K}\) et \(f\) un endomorphisme de \(E\)
Si \(P_1,\dots,P_n\in{\Bbb K}[X]\) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels \(V_i=\ker(P_i(f))\) sont en somme directe et $${{\bigoplus^n_{i=1} V_i}}={{\ker\left[\left(\prod^n_{i=1}P_i\right)(f)\right]}}$$ de plus, la projection de la somme directe \(V\) sur \(V_i\) parallèlement à \(\bigoplus_{j\ne i}V_j\) est la restriction d'un polynôme en \(f\)
Lemme des noyaux :
\(E\) est un espace vectoriel sur un corps commutatif \({\Bbb K}\)
\(f\) est un endomorphisme de \(E\)
\(P_1,\dots,P_n\in{\Bbb K}[X]\) sont des polynômes premiers entre eux deux à deux
$$\Huge\implies$$
les sous-espaces vectoriels \(V_i=\ker(P_i(f))\) sont en somme directe
